求抛物线焦点三角形面积与周长公式

Question

求抛物线焦点三角形面积与周长公式

Answer 1

y²=2px，焦点F（p/2,0）
设过F的参数方程为
x=p/2+tcosθ
y=tsinθ
θ为直线倾角，t为直线上一点与F的距离，t>0,点在F上方，t<0,点在F下方
设直线与抛物线的交点A、B，A在上方，对应t1，t2（t2<0)
面积=S△AOF+S△BOF
=（1/2）OF.AFsinθ+（1/2）OF.BF.sinθ
=（1/2）（p/2）sinθ(t1-t2)
=(p/4)(t1-t2)sinθ

周长：
AB=t1-t2，余弦定理：
AO=√（OF²+AF²+2OF.AFcosθ）
=√（p²/4+t1²+pt1cosθ）
BO=√（p²/4+t2²-pt2cosθ）
周长=t1-t2+√（p²/4+t1²+pt1cosθ）+√（p²/4+t2²-pt2cosθ）

x，y代入抛物线方程得：
t²sin²θ=2p（p/2+tcosθ）
t²sin²θ-2ptcosθ-p²=0
解此方程，求出t1，t2，或者根据韦达定理
t1+t2=2pcosθ/sin²θ
t1t2=-p²/sin²θ
t1-t2=√（t1-t2）²=√[(t1+t2)²-4t1t2]
=√[4p²cos²θ/sin^(4)θ+4p²/sin²θ]
=2p/sinθ√（cos²θ/sin²θ+1）
=2p/sinθ√（cot²θ+1）
=2p/sinθ×cscθ
=2p/sin²θ
面积=(p/4)(t1-t2)sinθ=(p/4)(2p/sin²θ)sinθ=p²/2sinθ
周长=t1-t2+√（p²/4+t1²+pt1cosθ）+√（p²/4+t2²-pt2cosθ）
=2p/sin²θ+√[p²/4+t1²+pt1cosθ+p²/4+t2²-pt2cosθ+2√[（p²/4+t1²+pt1cosθ）（p²/4+t2²-pt2cosθ）]]
=2p/sin²θ+√[p²/2+(t1²+t2²)+pcosθ(t1-t2)+2√[（p²/4+t1²+pt1cosθ）（p²/4+t2²-pt2cosθ）]]

Answer 2

郭敦荣回答：
设抛物线的标准方程是x²=2py（p＞0），焦点F的坐标是F（0，p/2），A（x1，y1）与B（x2，y2）是抛物线上的任意两点，
则焦点三角形为FAB，三边长：AF=b=√[（x1－0）²+（y1－p/2）²]，
BF=a=√[（x2－0）²+（y2－p/2）²]，
AB=f=√[（x1－x2）²+（y1－y2）²]
焦点三角形FAB周长=a+b+f。
焦点三角形FAB面积△S按海伦公式计算：
q=（1/2）（a+b+f），
△S=√[q（q－a）（q－b）（q－f）]。本回答被网友采纳

Answer 3

x^2=2py p>0
焦点F(0,p/2)
过焦点F直线交抛物线于MN
MN直线y=k(x-p/2)
x^2=2pkx-p^2
x^2-2pkx+p^2=0
x1+x2=2pk
x1x2=p^2
MN^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=(k^2+1)(x1-x2)^2=(k^2+1)[(x1+x2)^2-4x1x2]
=(k^2+1)[4p^2k^2-4p^2]=4(k^4-1)p^2
MN=2p*√(k^4-1)
O到MN距离d=|k*(-p/2)|/√(1+k^2)
S=(1/2)MN*d=(1/2)p^2√(k^4-1)*|k|/√(1+k^2)=(1/2)p^2|k|√(k^2-1)

Answer 4

抛物线y^2=4x的焦点f为(1,0),
设a(a^2,2a),b(b^2,2b),a≠b,
△oab的重心是f,
∴a^2+b^2=3,2a+2b=0,
解得a=-b=土√(3/2),
∴△oab的周长=oa+ob+ab=2√(a^4+4a^2)+4|a|=√33+2√6.

Answer 5

(1)
当双曲线的焦点在x轴上时，设标准方程为x²/a²-y²/b²=1，两焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),设双曲线上任一点P(x,y),则y²=b²/a²x²-b²
PF1=根号[(x+c)²+y²]=根号(c²/a²x²+2cx+a²)=根号(c/ax+a)²=|c/ax+a|
PF2=根号[(x-c)²+y²]=根号(c²/a²x²-2cx+a²)=根号(c/ax-a)²=|c/ax-a|
∵|PF1-PF2|=2a
∴c/ax+a与c/ax-a同号
∴焦点三角形PF1F2的周长=PF1+PF2+F1F2=|c/ax+a|+|c/ax-a|+2c=2ex+2c
当双曲线的焦点在y轴上时，同理可证焦点三角形PF1F2的周长=PF1+PF2+F1F2=2ey+2c
(2)追问

　　这没写完、明显是抄的！