如何利用法向量求三角形的平面方程？

Question

如题所述

Answer 1

a. 计算平面方程
先算出向量AB和AC，然后求它们的叉积n，因n垂直包含三角形的平面：
向量AB = <3-6, -1-10, 17-(-2)> = <-3, -11, 19>
向量AC = <-9-6, 8-10, 0-(-2)> = <-15, -2, 2>
叉积n = AB × AC = ( (-112) - (19(-2)), (19*(-15)) - (-3*(-2)), (-3*(-2)) - (-11*(-2)) ) = (44, -291, -159)
取n的单位向量 n_hat，选一个顶点（例A(6,10,-2)），平面方程可以表示为：
n_hat·(X - A) = 0
其中 n_hat = n / |n|。
简单一点，可以直接使用非单位化的法向量n求平面方程，因为需要知道具体的距离系数d，先保留法向量n不变。计算d后得出最终平面方程：
n·(X - A) = d
(44x - 330) + (-291y + 2910) - 159z + 318 = 0
b. 判断点(3,4,5)在平面的前面还是后面
先算出点(3,4,5)到平面的距离d’，如果d’>0，那点在平面的一侧（前面），如果d’<0，那点在平面的另一侧（后面）。
d’ = n·((3,4,5) - A) / |n|
c. 点(3,4,5)到平面的距离
同上，用公式计算d’得出距离。
d. 计算重心坐标
重心G的坐标可以用公式计算：
G = (A + B + C) / 3
e. 计算三角形的重心、内心和外心
重心：已给出计算方法。
内心：内心是三角形各内角平分线的交点，坐标较复杂，根据边长和角度计算。
外心：外心是三角形三边中垂线的交点，同样需要根据每条边的具体长度算出中垂线方程再求解交点。
问题b和c，要先确定平面方程中的常数项d，才能得出点的位置和计算距离。