几道微积分题目

Question

（1）∫X^2/(根号1-X^2)dx
(2)∫ln(1+X)dx
(3)∫x*cos平方Xdx

Answer 1

（1）令x=sint,因x属于(-1,2),故t在(-pi/2,pi/2)内，且dx=costdt
∫x^2/根号(1-x^2)dx
=∫(sint)^2/cost×costdt
=∫(sint)^2 dt
=∫(1-cos2t)/2 dt
=t/2-sin2t/4+C
=arcsinx/2-x×根号(1-x^2)/2+C
(2)∫ln(1+x)dx
=∫ln(x+1)d(x+1)
=(x+1)ln(x+1)-∫(x+1)dln(x+1)
=(x+1)ln(x+1)-∫1 dx
=(x+1)ln(x+1)-x+C
(3)∫x*cos平方xdx
=∫x(1+cos2x)/2 dx
=∫x/2 dx+ ∫xcos2x/2 dx
=x^2/4+x sin2x/4-∫sin2x/4 dx
=x^2/4+x sin2x/4+cos2x/8 + C

Answer 2

1。用三角换元 令x=sint 则dx=costdt,t=arcsinx
原式=∫(sint)^2dt=t/2-sin2t/4=0.5*arcsinx-(x√(1-x^2)）/2+C
2。用分部积分做
原式=(1+x)ln(1+x)-∫(1+x)/(1+x)d(1+x)=(1+x)[ln(1+x)-1]+C
3。还是用分部积分做
原式=∫x(cos2x+1)/2dx=x^2/4+∫xcos2x/2dx
其中，∫xcos2x/2dx=(xsinx/2-∫sin2x/2dx)/2=xsin2x/4+cos2x/8
所以原式=x^2/4+xsin2x/4+cos2x/8 +C

Answer 3

ruozi a