将函数f(x)=1/(3-x)展开成x-1的幂级数，并确定其收敛半径、收敛域

Question

如题所述

Answer 1

将函数f(x)=1/(3-x)展开成x-1的幂级数，并确定其收敛半径、收敛域：

f(x)=1/(3-x)

=1/[2-(x-1)]

=(1/2){1/[1-(x-1)/2]

=(1/2)

或

f(x)=1/(3-x)=1/[2-（x-1)]=1/2[1-(x-1)/2]

再利用1/(1-x)=1+x+^2+…+x^n+…

因为这个级数的收敛区间为（-1，1）

所以 -1<(x-1)/2<1

得收敛区间为（-1，3）

间接展开法

利用麦克劳林级数展开函数，需要求高阶导数，比较麻烦，如果能利用已知函数的展开式，根据幂级数在收敛域内的性质，将所给的函数展开成幂级数，这种方法称为间接展开法。

麦克劳林级数是函数在x=0处的泰勒级数，它是牛顿(I.Newton)的学生麦克劳林于1742年给出的，用来证明局部极值的充分条件，他自己说明这是泰勒级数的特例，但后人却加了麦克劳林级数这个名称。

Answer 2

f(x)=1/(3-x)
=1/[2-(x-1)]
=(1/2){1/[1-(x-1)/2]
=(1/2){本回答被提问者采纳