证明:矩阵Amxn 与Bmxn行等价的充分必要条件,是存在m阶可逆矩阵P,使PA=B

Question

证明:矩阵Amxn 与Bmxn行等价的充分必要条件,是存在m阶可逆矩阵P,使PA=B
给个过程

Answer 1

这题目主要是清楚什么是行等价
同济<线性代数>第4版P.59是这么定义的:
如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B, 则称矩阵A与B行等价.

(=>)必要性
因为矩阵A与B行等价
所以A经有限次初等行变换变成矩阵B
所以存在有限个初等矩阵P1,P2,...,Ps, 使得 P1P2...PsA = B
令P = P1P2...Ps, 则可逆且满足 PA=B

(<=) 充分性
已知存在m阶可逆矩阵P,使PA=B.
由P可逆, 所以存在有限个初等矩阵P1,P2,...,Ps, 使得P = P1P2...Ps
(可逆矩阵可以表示成初等矩阵的乘积)
所以有 P1P2...PsA = B
即 A经有限次初等行变换变成矩阵B
所以 矩阵A与B行等价本回答被提问者采纳

Answer 2

太麻烦了!