求线代大神讲解

Question

求线代大神讲解证明:矩阵Amxn 与Bmxn行等价的充分必要条件,是存在m阶可逆矩阵P,使PA=B

Answer 1

如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B,则称矩阵A与B行等价.
必要性：因为矩阵A与B行等价，所以A经有限次初等行变换变成矩阵B（ 行变换等于左乘一个初等矩阵 列变换等于右乘一个初等矩阵，而初等矩阵是可逆矩阵 其乘积仍为可逆矩阵），所以存在有限个初等矩阵P1,P2,...,Ps,使P1P2...PsA = B，再令P = P1P2...Ps,则可逆且满足 PA=B。
充分性：存在m阶可逆矩阵P,使PA=B，即A经有限次初等行变换变成矩阵B，所以矩阵A与B行等价。