设随机变量X1,X2,...,Xn独立同分布,记EX=µ,DX=σ2,Yn=1/n∑Xk,则有lim(n→∞)E|Yn2−µ2|=

Question

如题所述

Answer 1

∵Y²n=[(1/n)∑Xi]²=(1/n²)[∑X²i+2∑XiXj]，i=1,2,…,n，j=i+1,i+2,…,n，i≠j，Xi独立同分布，∴E(XiXj)=E(Xi)E(Xj)=μ²，E(X²i)=μ²+δ²。E(Y²n)=δ²/n+μ²。
∴当Y²n≥μ²时，lim(n→∞)E丨Y²n-μ²丨=lim(n→∞)E(Y²n-μ²)=lim(n→∞)δ²/n=0。
当Y²n<μ²时，lim(n→∞)E丨Y²n-μ²丨=-lim(n→∞)E(Y²n-μ²)=-lim(n→∞)δ²/n=0。
∴lim(n→∞)E丨Y²n-μ²丨=0。
供参考。