大一高数.微积分的问题.

大一高数.微积分的问题.如图.选择题第四题求解析.

推荐答案 2017-04-21

这是第一类曲面积分，满足奇偶对称性：
奇函数在对称区间积分等于0，偶函数在对称区间积分等于一半区间积分的2倍
本题积分区域Σ是上半球，关于x=0, y=0都是对称的，对于x或者y的奇函数在该区域的积分都等于0，这样ABD选项等号左边的积分都等于0，所以这三个选项显然是错的
对于C，利用被积函数z关于x,y都是偶函数，所以使用上述结论两次得到该积分是z在Σ1上积分的2*2=4倍
再用一步轮换对称性，即∫∫<Σ1>xdS = ∫∫<Σ1>ydS = ∫∫<Σ1>zdS
综上可知选项C正确

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