微积分的题目，求大神解答，希望能顺便说明一下题目问的知识点，谢谢

Question

求大神解题步骤T^T

Answer 1

1 解微分方程
y=f（x）
式子两边求导 ：y=2y+2xy‘
dy/dx=-y/2x
dy/y=-dx/2x
Sdy/y=-Sdx/2x
ln|y|=- 1/2 ln|x|+C
带入y(1)=0,求出C
2介值定理和罗尔中值定理
式子只有一个解
等价于F(x)=积分(0,x)fxdx-2x+1 在区间内只有一个0值
F(0)=1>0,F(1)=积分(0,x)fxdx-1<0,连续函数介值定理
必有c属于[0,1]使F(c)=0,式子在区间内有解
假设不止一个解,即存在d不等于c,使F(d)=0,
根据罗尔定理,必存在e属于[c,d],属于[0,1],使F'(e)=f(e)-2=0,
即有f(e)=2,与题中条件矛盾,故假设不成立,式子只有一个解