已知函数f(x)=(x-1)e^x-x^2(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间(Ⅱ)求函数f(x)在区间

Question

已知函数f(x)=(x-1)e^x-x^2(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0，k](k>0)上的最大值

Answer 1

过程如下

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(1)f'(x)=e^x+(x-1)e^x-2x=xe^x-2x=x(e^x-2)

令f'(x)>=0

∴x(e^x-2)>=0

x<=0或x>=ln2

∴f(x)增区间是（-∞,0]和[ln2,+∞)

减区间是(0,ln2)

此时可以画出大概图像

(2)

从图像可知

f(0)=f(1)=-1

x∈[0,+∞),f(x)先减后增

∴讨论k的取值范围

当0<k<=1时

f(x)最大值=f(0)=-1

当k>1时

f(x)最大值=f(k)=(k-1)e^k-k^2