求由方程2x2+2y2+z2+8yz-z+8=0所确定的隐函数z=z（x，y）的极值

Question

如题所述

Answer 1

由题意，方程两边对x和对y求偏导，令
?z
?x
＝
4x
1?2z?8y
＝0
?z
?y
＝
4(y+2z)
1?2z?8y
＝0
，
解得x=0与y+2z=0，
再代入2x2+2y2+z2+8yz-z+8=0，得到
7z2+z-8=0
即z＝1，?
8
7
．
由此可知隐函数z=z（x，y）的驻点为（0，-2）与(0，
16
7
)．
由
?2z
?x2
＝
4
1?2z?8y
，
?2z
?x?y
＝0，
?2z
?y2
＝
4
1?2z?8y
，可知在驻点（0，-2）与(0，
16
7
)有h=ac-b2＞0．
而在（0，-2）点，z=1，因此
?2z
?x2
＝
4
15
＞0，所以（0，-2）为极小值点，极小值为z=1；
在(0，
16
7
)点，z＝?
8
7
，因此
?2z
?x2
＝?
4
15
＜0，所以(0，
16
7
)为极大值点，极大值为z＝?
8
7
．

Answer 2

程x2+2y2+z2-4yz+2z+3=0两端x求偏导2x+2z?zx-4y?zx+2zx=0即zx＝x2y?z?1两端y求偏导4y+2z?zy-4z-4y?zy+2?zy=0即zy＝2y?2z2y?z?1令zx=zy=0解：x=0y=zx=0y=z代入已知程解y=z=-1或者y=z=3即隐函数z=z（xy）两驻点：（0-1）、（03）A=zxx＝(2y?z?1)?x(?zx)(2y?z?1)2B=zxy＝?x(2?zy)(2y?z?1)2C=zyy＝2(2y?z?1)?(y?z)(2?zy)(2y?z?1)2（0-1-1）代入求：A=?12B=0C=-1AC?B2＝12＞0且A＜0隐函数z=z（xy）：（0-1）取极值（033）代入求：A=12B=0C=1AC?B2＝12＞0且A＞0隐函数z=z（xy）：（03）取极值