f(z)=z/(z+2) 在 z=1 处展成泰勒级数？

Question

如题所述

Answer 1

要在z=1处对函数f(z)=z/(z+2)展开泰勒级数，我们可以使用标准的公式：
f(z) = f(a) + f'(a)(z-a)/1! + f''(a)(z-a)^2/2! + f'''(a)*(z-a)^3/3! + ...
其中，f'(a)表示函数f(z)在z=a处的一阶导数，f''(a)表示二阶导数，以此类推。因此，我们需要先求出f(z)在z=1处的各阶导数。
f(z) = z/(z+2)
f'(z) = (z+2 - z)/(z+2)^2 = 1/(z+2)^2
f''(z) = -2/(z+2)^3
f'''(z) = 6/(z+2)^4
将z=1代入上述公式中，得到：
f(1) = 1/3
f'(1) = 1/9
f''(1) = -2/27
f'''(1) = 6/81 = 2/27
因此，在z=1处对函数f(z)展开泰勒级数，得到：
f(z) ≈ 1/3 + 1/9*(z-1) - 2/27*(z-1)^2 + 2/27*(z-1)^3 + ...
这是一个无穷级数，每一项都包含了(z-1)的幂，且随着幂次的增加，系数会越来越小。如果只取前几项作为近似值，可以得到一个更简单的表达式，例如：
f(z) ≈ 1/3 + 1/9*(z-1) - 2/27*(z-1)^2
这个近似式在z=1附近的误差会比较小，可以用于计算f(z)的近似值。