这个极限题的变上限积分怎么处理？

Question

就是这个题，求大佬帮忙

Answer 1

直接使用洛必达法则，详情如图所示

Answer 2

x趋近于0时变上限积分等于0啊，
0/0型不等式，洛必达法则
原式就变成了-x(sinx)^2 /4x^3
继续洛必达到最后
-[6(cosx)^2 -6(sinx)^2 -8xsinxcosx]/24
将x=0代入得
-6/24=-1/4追问

变限积分又有x又有t怎么求导？

追答

他是对t的积分，你就把x当做常数就好了，不用管里面的x的，x就看做c

Answer 3

let

t= xsinu

dt=xcosu du

t=0, u=0

t=x, u=π/2

//

x->0, t->0

√(x^2-t^2) sin(x^2-t^2) ~ (x^2-t^2)^(3/2) 

∫(0->x) √(x^2-t^2) sin(x^2-t^2) dt

~∫(0->x) (x^2-t^2)^(3/2)  dt

=∫(0->π/2)  x^4.(cosu)^4 du 

=x^4. ∫(0->π/2)  (cosu)^4 du

=(1/4)x^4. ∫(0->π/2)  (1+cos2u)^2 du

=(1/4)x^4. ∫(0->π/2)  [ 1+2cos2u + (cos2u)^2 ] du

=(1/8)x^4. ∫(0->π/2)  [ 3+4cos2u + cos4u ] du

=(1/8)x^4.  [ 3u+2sin2u + (1/4)sin4u ]| (0->π/2)

=(3/16)πx^4

ie

∫(0->x) √(x^2-t^2) sin(x^2-t^2) dt 等价于  (3/16)πx^4

//

lim(x->0+) ∫(0->x) √(x^2-t^2) sin(x^2-t^2) dt /x^4

=lim(x->0+) (3/16)πx^4 /x^4

=(3/16)π

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