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特征值的一些结论
刘老师你好请问,为什么n阶实对称矩阵有n个线性无关的
特征
向量?
答:
这个
结论
需要一个关键结论: k重特征值恰有k个线性无关的特征向量 证明太麻烦且超出知识范围, 教材都不给证明(包括同济大学的线性代数)我只是想说一方面要掌握这个结论, 另一方面相关的定理结论也要知道 比如: 属于不同
特征值的
特征向量线性无关, 而实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交 ...
求A的
特征值
?
答:
第二种方法 若f(x)是一个多项式,f(A)称为矩阵多项式。比如:f(x)=x^2+2x-1 则f(A)=A^2+2A-E 那么有一个
结论
:如果a是A的特征值,那么f(a)是F(A)的特征值,且重数一样 另一个结论是,行列式等于其对应的矩阵的
特征值的
乘积。本题也可以这么做 A-E3对应的多项式为x-1,故其特征...
实对称矩阵为什么可以对角化?
答:
实对称阵的特征值都是实数,所以n阶阵在实数域中就有n个特征值(包括重数),并且实对称阵的每个
特征值的
重数和属于它的无关的特征向量的个数是一样的,从而n阶矩阵共有n个无关特征向量,所以可对角化。判断方阵是否可相似对角化的条件:(1)充要条件:An可相似对角化的充要条件是:An有n个线性...
秩为1的矩阵的
特征值的
公式是什么?
答:
秩为1的矩阵的
特征值的
公式为 Aβ = βα^Tβ = α^Tββ。如果矩阵可以对角化,那么非0特征值的个数就等于矩阵的秩,如果矩阵不可以对角化,这个
结论
就不一定成立。注意事项:设A是n阶方阵,如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立,那么这样的数λ称为矩阵A特征值,非零向量x称为A...
已知矩阵A的
特征值
为1,3,2;求A^-1,I+A的特征值
答:
A^-1的
特征值
是1/1,1/3,1/2。I+A的特征值是1+1,1+3,1+2。将矩阵A代入一个多项式,得到一个新的矩阵B,即 B=f(A)=an*A^n+an-1*A^(n-1)+...+a1*A+a0*I 设A有特征值λ,那么B就有特征值f(λ),而且对应的特征向量不变。这个
结论
很有用,严格的证明要用《矩阵论》。《...
矩阵的
特征值
和对角化
有什么
关系?
答:
特征值与秩的关系:如果矩阵可以对角化,那么非0
特征值的
个数就等于矩阵的秩;如果矩阵不可以对角化,这个
结论
就不一定成立了。为讨论方便,设A为m阶方阵。证明,设方阵A的秩为n。无论特征值里有没0,A的行列式都为所有特征值的乘积。特征值与秩的相关定理:定理:矩阵的行秩,列秩,秩都相等。定...
实对称矩阵一定满秩吗?
答:
实对称矩阵的性质 实对称矩阵具有很多重要的性质:所有实对称矩阵都可以对角化。对于任何两个不同
特征值
所对应的特征向量,它们是正交的。对于实对称矩阵而言,对角化的过程可以通过正交变换来完成。实对称矩阵的秩 现在,我们回到本文的主题,即实对称矩阵的秩。
结论
是,实对称矩阵一定是满秩的,除非它是...
矩阵的秩和矩阵的
特征值
个数的关系,并证明
答:
解:得到A→1 2 3 40 0 0 00 0 0 00 0 0 0 ,则矩阵A的秩r(A)=1。通过上例,我们发现λ=0为A的三重
特征值
,而A的秩r(A)=4-3=1。下面的定理给出了相应
的结论
。证:由定理2,实对称矩阵必能相似对角化,因此A必有n个线性无关的特征向量,即...
矩阵有几个
特征值
和特征向量?
答:
特征值
注意:特征值不相同的情况, 此时注意两个特征值对应特征向量的求解。一个利用行和相等
的结论
,一个利用之前“秩1”矩阵的相关结论。行列式、矩阵、向量组、方程组,包括特征值、特征向量,以及之后的相似对角化和二次型均可以利用该矩阵命题,同学们一定要熟练掌握这个矩阵的相关性质,做好归纳总结...
关于正定矩阵的问题
答:
由于A是负定的当且仅当-A是正定的,所以上叙
结论
不难从正定性的有关结论直接得出,故证明略。四.半正定矩阵
的一些
判别方法 1. n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指数等于它的秩。2. n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的
特征值
全大于等于零,但至少有一个特征值等于...
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