叙述并证明正弦定理

Question

如题所述

Answer 1

步骤1.
　　在锐角△abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足为点h

　　
ch=a·sinb
　　ch=b·sina
　　∴a·sinb=b·sina
　　得到
　　a/sina=b/sinb
　　同理，在△abc中，
　　b/sinb=c/sinc
　　步骤2.
　　证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：
　　如图，任意三角形abc,作abc的外接圆o.
　　作直径bd交⊙o于d.
　　连接da.
　　因为直径所对的圆周角是直角,所以∠dab=90度
　　因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c.
　　所以c/sinc＝c/sind=bd=2r
　　类似可证其余两个等式。

Answer 2

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径的两倍）
证明：
方法1.
在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中，
b/sinB=c/sinC
方法2.
证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
作直径BD交⊙O于D.
连接DA.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.
所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R
类似可证其余两个等式。
方法3
记向量i
，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c
∴a+b+c=0
则i（a+b+c）
=i·a+i·b+i·c
=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)
=-asinC+csinA=0
接着得到正弦定理