正弦定理的证明

Question

呵呵，我已经知道了几种：
一种是用三角证asinB=bsinA
用面积证
用几何法，画三角形的外接圆
听说能用向量证，咋么证呢？

Answer 1

三角形ABC为锐角三角形时，过A作单位向量j垂直于向量AB，则j 与向量AB夹角为90，j与向量BC夹角为（90-B）,j与向量CA夹角为（90+A),设AB=c,BC=a,AC=b,
因为AB+BC+CA=0
即j*AB+J*BC+J*CA=0
|j||AB|cos90+|j||BC|cos(90-B)+|j||CA|cos(90+A)=0
所以asinB=bsinA

Answer 2

下面a、b、c都表示向量,|a|、|b|、|c|表示向量的模
因为a=b-c
所以a^2＝(b-c)^2 = b^2 +c^2 -2*bc
所以|a|^2＝|b|^2 + |c|^2 -2*|b|*|c|*cosa

其它以此类推。