同济高等数学第六版 关于反常积分的极限审敛法1

Question

定理如下：设函数f(x)在区间[a,+无穷)上连续，且f(x)≥0.如果存在常数p>1使得lim(x->正无穷)x^(p) f(x)存在，则反常积分f(x)dx|a至正无穷 收敛；如果lim(x->正无穷)xf(x)=d>，则反常积分……发散。
第一部分的证明（分号之前），是说根据极限的定义，存在充分大的x1使得|x^pf(x)-c|<1所以0≤x^(p)f(x)<1+c
为何默认绝对值内的值是正的？求教。谢谢。

Answer 1

本问题证的是反常积分的敛散性问题，而积分究竟是收敛还是发散，取决于x-->+∞时的情形，对于x<0的部分对于本问题不产生任何影响，因此没必要考虑x<0时的情形。

如果要考虑x<0，本题可以这样写：
当a>=0时，直接按上面的方法证就行了；
当a<0时，将区间分为两部分(a,0)与(0,+∞)，其中(a,0)这部分是定积分，不需要考虑，只考虑(0,+∞)部分，研究方法同上。

这样分完你就发现，其实没有必要考虑小于0的情况。因为本问题的重点在x-->+∞ 时，也就是大于0时。

Answer 2

前面的比较审敛法1已经说了a>o 后面的极限审敛法1是在这个基础上的，，，，注意看书