函数连续一定可积吗？

Question

如题所述

Answer 1

连续一定可积。

积分的数学意思就是求面积，因为f(x)在区间（a，b）连续，故可以求面积，所以可积。其实，连续是可积的充分非必要条件，如果f(x)在（a，b）上不连续，而是分断连续的，即有有限个间断点，f(x)仍然可积。可积函数不一定连续，连续是比可积更苛刻的条件，要判断一个函数是否连续，还是要通过定义来判断，并非在可积的基础上单加什么条件就可以判断。

连续的可积函数也就是连续函数；即使连续的可积函数也不一定可导；例如：y=|x|，连续的可积函数在0点不可导；如果是连续函数的原函数一定可导。

连续函数性质

1、在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0）运算，结果仍是一个在该点连续的函数。

2、连续单调递增（递减）函数的反函数，也连续单调递增（递减）。

3、连续函数的复合函数是连续的。

4、闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。

5、闭区间上的连续函数在该区间上一定能取得最大值和最小值。

6、闭区间上的连续函数在该区间上一致连续。