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    • 设随机变量X与Y独立同分布，E(X)=E(Y)=μ，D(x)=D(Y)=σ2，随机变量ξ=αx+βy，η=αx-βy． 求：

    A.

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    推荐答案   2023-04-23
    【答案】：E(ξ)=E(αX+βY)=αE(X)+βE(Y)=(α+β)μ，
    E(η)=E(αX-βY)=αE(X)-βE(Y)=(α-β)μ，
    D(ξ)=E[(αX+βY)-E(αX+βY)]2=E[α(X-μ)+α(Y-μ)]2
    =α2E(X-μ)2+β2E(Y-μ)2+2αβE(X-μ)(Y-μ)
    =(α2+β2)σ2．
    同理D(η)=(α2+β2)σ2，
    E(ξη)=E[(αX+βY)(αX-βY)]=E(α2X2-β2Y2)
    =α2E(X2)-β2E(Y2)
    =α2[D(X)+E2(X)]-β2[D(Y)+E2(Y)]
    =(α2-β2)(σ2+μ2)，
    cov(ξη)=E(ξη)-E(ξ)E(η)
    =(α2-β2)(σ2+μ2)-(α2-β2)μ2
    =(α2-β2)σ2$当|α|=|β|时，ρξη=0，ξ与η不相关．
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