柯西不等式的几种证法（详细）

Question

如题所述

Answer 1

法一：向量分析
设A=（a1，a2，……an）B=（b1，b2，……bn）
∵A·B≤|A||B|
∴a1b1+a2b2+……anbn≤√a1²+a2²+……an²√b1²+b2²+……bn²
∴（Σaibi）²≤Σai²Σbi²
法二：构造二次函数
当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，一般形式显然成立
　　令A=∑ai^2　B=∑ai·bi　C=∑bi^2
　　当a1，a2，…，an中至少有一个不为零时，可知A>0
　　构造二次函数f(x)=Ax^2+2Bx+C，展开得：
　　f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑ (ai·x+bi)^2≥0
　　故f(x)的判别式△=4B^2－4AC≤0，
　　移项得AC≥B^2，欲证不等式已得证。

Answer 2

一般形式的证明
　　求证：(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2 　　证明： 　　当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，一般形式显然成立 　　令A=∑ai^2　B=∑ai·bi　C=∑bi^2 　　当a1，a2，…，an中至少有一个不为零时，可知A>0 　　构造二次函数f(x)=Ax^2+2Bx+C，（请注意，一次项系数是2B，不是B）展开得： 　　f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑ (ai·x+bi)^2≥0 　　故f(x)的判别式△=4B^2－4AC≤0， 　　（请大家注意：一元二次方程ax^2+bx+c=0的判别式确实是△=b^2-4ac，但是这里的方程Ax^2+2Bx+C = 0已经发生如下替换a = A，b = 2B，c = C，这里面b已经换成了2B，因而导致很多网友的误解。此步若错，柯西不等式就无法证明了！） 　　移项得AC≥B^2，欲证不等式已得证。
向量形式的证明
　　令m=(a1, a2, …, an)，n=(b1, b2, …, bn) 　　m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos<m, n>=√(a1^2+a2^2+…+an^2) ×√(b1^2+b2^2+…+bn^2) ×cos<m, n> 　　∵cos<m, n>≤1 　　∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1^2+a2^2+…+an^2) ×√(b1^2+b2^2+…+bn^2) 　　注：“√”表示平方根。

Answer 3

我想到的有二次函数构造法，拉格朗日恒等式以及数学归纳法，过程太长了，自己去查阅相关资料吧