柯西不等式3题(5分)

Question

1.设x,y为正数,且2x+3y=14,当数对(x,y)=________时,(8/x)+(3/y)有最小值=__________

2.x,y为实数,x^2+y^2+2x=4,求x-2y最小值为_______

3.设向量a=(x,y),已知|向量a|=根号13,则当5x+y有最大值时,向量a=______

Answer 1

告诉你一个柯西不等式的变形（权方和不等式的特例）：
a^2/b+c^2/d>=(a+c)^2/(b+d).
这是二维的情况，还有三维，四维...
证明很简单：（a^2/b+c^2/d）*（b+d）>=(a+c)^2，再左右两边同除b+d就可以了.
至于柯西不等式的应用方法，我觉得就是配系数，还有(a^2+b^2)(c^2+d^2)>=(ac-bd)^2.
右边那个括号里既可以写成ac-bd，也可以写成ac+bd，慢慢理解吧！
1.由权方和（柯西）不等式就有(8/x)+(3/y)=4^2/(2x)+3^2/(3y)>=(4+3)^2/(2x+3y)=7/2.
2.（x+1）^2+y^2=5,有柯西不等式得到：(1^2+2^2)(（x+1）^2+y^2)>=(x+1-2y)^2,即x-2y<=5.
3.x^2+y^2=13，：(5^2+1^2)(x^2+y^2)>=(5x+y)^2,即5x+y<=13√2.

Answer 2

(1)利用均值不等式做，结果应该是4*根号下（3/7倍的根号下6）
(2)m=-4
(3)向量a的坐标为(5/2倍的根号2，根号2/2)追问

過程~

追答

( 2 )(x+1)^2+y^2=3,画出图像，令x-2y=0，并在同一个坐标轴上画出图像，平移直线x-2y=0，直到 与圆相切的位置，求出切线的斜率，有两种情况，一个最大值，一个最小值。
（3）在坐标轴上向量a的方向不一定，所以可以看做是圆心在原点且半径为根号13的圆，画出5x+y=0的图像，与圆有共交点，将直线向上平移，达到与圆相切时的斜率就是5x+y的最大值，求出切点的坐标，即x、y的值，也就是向量a。