什么时候极限能和积分符号互换位置

Question

如题所述

Answer 1

极限符号和积分符号一般情况不能交换位置，只有满足一定条件才能交换位置；广义意义下，极限符号和积分符号可以交换位置，这主要发生在工程应用中，因为交换的结果往往符合工程实际。

例1： fn(x)=xn, x∈(0,1)，

fn(x)在（0，1）上处处收敛到0，但不一致收敛到0。

例2：gn(x)=(n+1)xn, x∈(0,1)，

gn(x) 同样在（0，1）上处处收敛到0，但不一致收敛到0。

然而这两个函数列有很大不同，分别对两者做积分我们看到：

∫（0，1）fn（x）dx=1/(n+1)→0=∫(0,1)0dx

∫（0，1）gn（x）dx=1≠0。

这就是说，尽管我们将（0，1）区间挖掉一个长度充分小的区间（δ，1）后，fn(x) 与gn(x)在（0，δ）上都一致收敛到0，但前者积分与极限可以交换顺序，后者则不然。

扩展资料：

对于一个函数f，如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。

利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数，广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。

设{xn}为一个无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数ε （不论其多么小），都∃N>0，使不等式|xn-a|<ε在n∈(N,+∞)上恒成立，那么就称常数a是数列{xn} 的极限，或称数列{xn} 收敛于a。

N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

参考资料来源：百度百科——极限

参考资料来源：百度百科——积分符号

Answer 2

积分与极限的交换顺序问题探讨：考虑下面两个例子
例1： fn(x)=xn, x∈(0,1)，
fn(x)在（0，1）上处处收敛到0，但不一致收敛到0。
例2：gn(x)=(n+1)xn, x∈(0,1)，
gn(x) 同样在（0，1）上处处收敛到0，但不一致收敛到0。
然而这两个函数列有很大不同，分别对两者做积分我们看到：
∫（0，1）fn（x）dx=1/(n+1)→0=∫(0,1)0dx
∫（0，1）gn（x）dx=1≠0。
这就是说，尽管我们将（0，1）区间挖掉一个长度充分小的区间（δ，1）后，fn(x) 与gn(x)在（0，δ）上都一致收敛到0，但前者积分与极限可以交换顺序，后者则不然。原因何在？
为了寻找到发生障碍的原因，还是从一致收敛的函数列说起，假设fn(x) 与f(x)是定义在[a，b]（开区间也可，但要保证可积性，那样将涉及到暇积分）上的连续函数序列（假定连续是为了避免讨论可积性），且fn(x)在[a，b]上一致收敛到f(x)，我们知道此时积分与极限是可以交换顺序的，一致收敛性条件很强，多数情况下做不到，那么从一致收敛性条件我们还可以得到关于函数序列的什么特征呢？或许这些特征能告诉我们一些本质的东西，由一致收敛定义知对任意>0 ，存在M>0，当m>M时，对一切x[a，b]，有|fm(x)-f(x)|<，从而|fm(x)|<+|f(x)|。显然+|f(x)|在[a，b]上可积，所以{fm}实际上由一个可积函数控制住了。这个性质是不是本质的？我们回过头来看看前面的两个例子，尽管fn(x)在（0，1）上不是一致收敛到0的，但在(0,1)上|fn(x)|<1，我们能找到（0，1）上的可积函数控制住gn（x）吗？显然做不到！也就是说，如果一个函数序列不能“整体”上被控制，积分与极限就可能是不可交换顺序的，因此要保证交换性，函数序列至少应该可以被控制。问题是，如果能被控制的话，积分与极限是否就一定可以交换顺序呢？如果答案是肯定的，我们的问题就获得完满解决了。
这里需要我们学会一点逻辑思考！既然我们可以在“很大”的范围内能做到一致收敛，而一致收敛的情况下积分与极限是可以交换顺序的，那么问题的关键就在于当区间长度很小时，函数序列的积分会发生什么变化。要搞清楚这个问题，我们很自然地会想到另一个问题：如果一个函数序列整体上能被一个可积函数控制住，那么在长度很小的范围内会发生什么事？或者说得更具体一点，随着区间长度的减小，积分会如何变化？
你想到了什么？
假设f(x)是[a，b]上的可积函数，如果区间长度b-a越来越小，积分∫[a,b]f(x)dx会怎样变化？哈哈，你若是再没反应，说明你微积分真的学得有问题了。假如你能回答：“积分也越来越小”说明你聪明，知道积分是具有“绝对连续性”的。如此问题就好办了，既然|fn(x)|<F(x)，那么就有∫[a，b] |fn(x)|dx≤∫[a，b] F(x)dx，这意味着尽管函数序列未必一致收敛，但函数序列只要能被一个可积函数控制，积分将随着区间的长度趋于0而一致地趋于0（即与下标n无关）。进而积分与极限交换顺序的问题就可望得到解决，这就是实变函数里赫赫有名的Lebesgue控制收敛定理。当然，如果在Lebesgue积分意义下讨论问题，还需要弄清楚Lebesgue积分是否具有绝对连续性，幸运的是，答案是肯定的。这就是下面的
定理（积分的绝对连续性）若f(x)在E上可积，则对任意>0，总存在>0，使得,且mA<时，

有了Egoroff定理与积分的绝对连续性，控制收敛定理的证明就不在话下了。
定理（Lebesgue控制收敛定理）设fn是E上的可测函数列，F是fn的控制函数，即|fn(x)|F(x) a.e.，且F在E上可积，如果fn在E上几乎处处收敛到f，则f在E上是可积的本回答被提问者采纳

Answer 3

非负单调，或一致收敛，或lebesgue控制

Answer 4

狭义意义下，极限符号和积分符号一般不能交换位置，只有满足一定条件才能交换位置；广义意义下，极限符号和积分符号可以交换位置，这主要发生在工程应用中，因为交换的结果往往符合工程实际，至于进行这种交换严格的理论依据往往不加探究。

简介：

极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。在现代的数学分析教科书中，几乎所有基本概念（连续、微分、积分）都是建立在极限概念的基础之上。

基本解释：

1.是指无限趋近于一个固定的数值。

2.数学名词。在高等数学中，极限是一个重要的概念。

极限可分为数列极限和函数极限。

学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以为了要利用代数处理代表无限的量，于是精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，而引入了一个过程任意小量。就是说，除数不是零，所以有意义，同时，这个过程小量可以取任意小，只要满足在Δ的区间内，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能。这个概念是成功的。

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Answer 5

一致收敛或是满足勒贝格控制收敛定理的条件