（2013?宜兴市二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（-2，-2），半径为2．函数

Question

（2013?宜兴市二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（-2，-2），半径为2．函数y=-x+2图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为线段AB上一动点（包括端点）．（1）连接CO，求证：CO⊥AB；（2）若△POA是等腰三角形，求点P的坐标；（3）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；（4）当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令PO=t，MO=s，求s与t之间的函数关系，并写出t的取值范围；设点M为线段EF的中点，试写出点M的运动轨迹，并直接写出点M运动轨迹的长度．

Answer 1

解答：解：（1）延长CO交AB于D，过点C作CG⊥x轴于点G．
∵函数y=-x+2图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴x=0时，y=2，y=0时，x=2，
∴A（2，0），B（0，2），
∴AO=BO=2．
又∵∠AOB=90°，
∴∠DAO=45°．
∵C（-2，-2），
∴∠COG=45°，∠AOD=45°，
∴∠ODA=90°．
∴OD⊥AB，即CO⊥AB；

（2）要使△POA为等腰三角形．
①当OP=OA时，P的坐标为（0，2），
②当OP=PA时，由∠OAB=45°，所以点P恰好是AB的中点，
所以点P的坐标为（1，1），
③当AP=AO时，则AP=2，
过点作PH⊥OA交OA于点H，
在Rt△APH中，则PH=AH=

2

，
∴OH=2-

2

，
∴点P的坐标为（2-

2

，

2

）；

（3）如图2，当直线PO与⊙C相切时，设切点为K，连接CK，
则CK⊥OK．由点C的坐标为（-2，-2），
可得：CO=2

2

．
∵sin∠COK=

CK

CO

=

2

2 2

=

1

2

，
∴∠POD=30°，又∠AOD=45°，
∴∠POA=75°，
同理可求得∠POA的另一个值为45°-30°=15°；

（4）∵M为EF的中点，
∴CM⊥EF，
又∵∠COM=∠POD，CO⊥AB，
∴△COM∽△POD，
所以

CO

PO

＝

MO

DO

，即MO?PO=CO?DO．
∵PO=t，MO=s，CO=2

2

，DO=

2

，
∴st=4．
但PO过圆心C时，MO=CO=2

2

，PO=DO=

2

，
即MO?PO=4，也满足st=4．
∴s=

4

t

，
∵OP最小值为

2

，当直线PO与⊙C相切时，∠POD=30°，
∴PO=

2

cos30°

=

2 6

3

，
∴t的取值范围是：

2

≤t＜

2 6

3

，
由（3）可得，点M的运动路线是以点Q为圆心（Q点为OC与⊙C的交点），

2

为半径的一段圆弧，
 可得⊙C和⊙Q是两个等圆，可得∠GQK=120°
 弧GQK为实际运动路径，弧长=

2 2

3

π．