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划线部分不知道为什么秩的那块不等式
如题所述
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推荐答案 2011-09-25
设m×n矩阵A与n×s矩阵B满足AB=0,并且r(A)<n,有结论r(A)+r(B)≤n。这是秩的一个性质。
证明:已知r(A)<n,故以A为系数矩阵的n元齐次线性方程组Ax=0存在基础解系,且基础解系由n-r个解组成,即方程组Ax=0解向量组的秩为n-r。又由条件AB=0,将B按列分为s块:B=(ß1,ß2,……,ßs),其中ßs为B的第j个列向量,j=1,2,……,s。则由分块矩阵的乘法 AB=0↔A(ß1,ß2,……,ßs)=(Aß1,Aß2,……,Aßs)=(0,0,……,0),即Aßj=0(j=1,2,……,s)。这表明矩阵B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解。作为方程组Ax=0解向量组中的s个解,可知r(ß1,ß2,……,ßs)≤n-r,即r(B)≤n-r(A),即r(A)+r(B)≤n
你书上说r(A)=0,感觉有问题……
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其他回答
第1个回答 2011-09-25
由A(B-C)=0
所以 B-C 的列向量都是 AX=0 的解/
但因为 r(A)=n
所以 AX=0 只有零解.
所以 B-C 的列向量都是 零向量
即有 B-C = 0.
第2个回答 2011-09-26
设Ax=0的所有解向量构成解集S
因A(B-C)=O,则(B-C)的每个列向量均是Ax=0的解
即(B-C)的的所有列向量全包含在解集S中
因此R(B-C)<=R(S)
又R(A)+R(S)=n ( 说明:对于Ax=0, R(A)为有用方程个数,亦即非自由未知数个数,R(S)为基础解系中所含向量数,亦即自由未知数个数,两者相加为总未知数个数即A的列数n)
所以R(A)+R(B-C)<=R(A)+R(S)=n
证毕。
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