第三个问题跟第二个是一个问题
对于一元积分 只要函数在其积分区域上的所有间断点构成的集合为零测集,则该函数在该区域上可积
什么是零测集? 集合A包含于开区间的并集的,且这些开区间并集总长趋于零 集合A就是零测集。 1至多可数集是零测集 2零测集的子集是零测集 3至多可数个零测集的并集是零测集(至多可数集 与自然数一一对应的集合是可数集(有限集合无限集统称至多可数集)1至多可数集的子集是至多可数集,2可数个至多可数集的并集是至多可数集 )
“是不是在该区间上存在是分段连续的,并且不存在无限个剪短点就能证明”反例
1/sin(1/x) 在(-1,1)的积分 间断点 x∈1/nΠ 在(-1,1)上有无数个,但间断点的集合是零测集 所以可积
对于多元积分,很抱歉,我不是数学系的,没法给你解答,但是思路应该同上,只是具体操作不同
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