初三数学难题，圆，紧急求助

Question

如图，弦AC,BD交于E，连接BC,AD，点O为圆心，OG⊥AD,∠BEC=90°，求证：BC=2OG

Answer 1

证明：

作直径DF，连接BF、AF

因为OG⊥AD

所以AG＝DG

因为DF是直径

所以OD＝OF

所以OG是△ADF的中位线

所以2OG＝AF

因为DF是直径

所以BD⊥BF

因为AC⊥BD

所以BF∥AC

所以弧AF＝弧BC（同圆中平行两弦所夹的弧相等）

所以AF＝BC

所以BC＝2OG

江苏吴云超解答  ä¾›å‚考！

追问

还有一种方法吧

追答

取BC中点M，连接ME并行长交AD于N，证明MN与AD垂直，从而MN与OG平行，再证明OM与GEH平行，从而证明四边形EGOM是平行四边形得EM＝OG。另外EM＝BC/2，所以BC＝2OG

参考资料：http://hi.baidu.com/jswyc/blog/item/e2d3c5f9e19a9909d8f9fd12.html

Answer 2

1.过圆心做辅助线AF，交圆于F点，连接DF，CF；
2.得到角ADF为90度，角A等于角B，角A等于角BFC，角ACF等于90度，BD平行于CF；
3.可以得知BCFD是等腰梯形，2OG=DF=BC；

Answer 3

解：
连接AO交⊙O于点F ∴AF为圆O直径
连接DF,AB. ∴ ∠ADF＝90°
∵OG⊥AD
∴G为AD中点
又∵O为AF中点
∴GO为△ADF中位线
DF＝2OG
∵ ∠AFD＝ ∠ABD
∠AEB＝ ∠ADF
∴ ∠BAC＝ ∠EDA
∵同一圆上相同圆周角所对的弦相等
∴有BC＝DF
∴BC＝2OG得证