高等数学 求不定积分？

Question

两道题，写下过程，谢谢

Answer 1

18题，只有换元了，设arctan√x=u，则x=tan²u，然后凑微分，如图

2题，弄清原函数与导函数的关系即可

Answer 2

Answer 3

18.∫xarctan∨xdx
令x=tan²θ，θ∈[0，π/2）
则原式=2∫θtan³θsec²θdθ
=∫θ(2sec²θ－2)secθdsecθ
=∫θ(2sec³θ－2secθ)dsecθ
=∫θ d[1/2 (secθ）^4－sec²θ]
=1/2 θ(secθ)^4 －θsec²θ－∫[1/2(sec²θ)²－sec²θ]dθ
=1/2 θ(secθ)^4 －θsec²θ－∫(1/2sec²θ－1）dtanθ
=1/2 θ(secθ)^4 －θsec²θ－1/2 ∫( tan²θ－1）dtanθ
=1/2 θ(1+tan²θ）² －θ(1+tan²θ)－1/2(1/3 tan³θ－tanθ）＋C
=1/2 θ(tan²θ)²－1/2 θ－1/6tan³θ＋1/2tanθ＋C
=1/2 [x²arctan∨x －arctan∨x －1/3 (∨x)³＋∨x] ＋C

2.f(x)=[sinx/x]'=(xcosx－sinx）/x²
∫xf'(x)dx
=∫xdf(x)
=xf(x) －∫f(x)dx
=(xcosx－sinx)/x －sinx/x ＋C
=cosx－2sinx/x ＋C