函数f(X)在x0可导,则f'(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的什么条件？

Question

详细说明理由

Answer 1

如果要证明的话，需要分两个方面：

首先，如果f(x)在x0处取极值，那么一定有f'(x0)=0，这是由极值的定义给出的。也就是存在一个小邻域，使周围的值都比这个极值大或小。

但是，如果只是f'(x0)=0，不能得到极值的条件。这个只需要举一个反例就可以了，如y=x^3，在x=0处，导数=0，但并不是极值点。事实上，这类点只是导数=0，函数仍然是单调的。

如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。

扩展资料：

给定一个数集A，假设其中的元素为x。现对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B。假设B中的元素为y。则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。

函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

函数是发生在集合之间的一种对应关系。然后，要理解发生在A、B之间的函数关系不止且不止一个。最后，要重点理解函数的三要素。

函数的对应法则通常用解析式表示，但大量的函数关系是无法用解析式表示的，可以用图像、表格及其他形式表示。

函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。

另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。

参考资料来源：百度百科——可导函数

Answer 2

如果要证明的话，需要分两个方面：
首先，如果f(x)在x0处取极值，那么一定有f'(x0)=0，这是由极值的定义给出的。也就是存在一个小邻域，使周围的值都比这个极值大或小。
但是，如果只是f'(x0)=0，不能得到极值的条件。这个只需要举一个反例就可以了，如y=x^3，在x=0处，导数=0，但并不是极值点。事实上，这类点只是导数=0，函数仍然是单调的。
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Answer 3

则f'(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要条件
理由是，x0处是极值，则必有f'(x0)=0；
但f'(x0)=0，f(x)在x0处未必取得极值，而是驻点。

Answer 4

充分
详细理由：是有费马引理给出的。追问

答案是必要条件
详细理由：多位高手说的

追答

我打错了应该是必要条件

追问

你说一下理由，我懂了，我加分

追答

首先，根据极值的定义f(x)在x0处取得极值，则在x=x0的领域内f(x)≥f(x0)（极小）或f(x)≤f(x0)（极大）然后，根据定义求x0出的左导数和右导数当f(x)≥f(x0)（极小）时，左导数≤0，右导数≥0
由于在x0处可导，就必有f'(x0)=0