函数f(X)在x0可导,则f'(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的什么条...

Question

函数f(X)在x0可导,则f'(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的什么条件? 详细说明理由

Answer 1

如果要证明的话,需要分两个方面：
首先,如果f(x)在x0处取极值,那么一定有f'(x0)=0,这是由极值的定义给出的.也就是存在一个小邻域,使周围的值都比这个极值大或小.
但是,如果只是f'(x0)=0,不能得到极值的条件.这个只需要举一个反例就可以了,如y=x^3,在x=0处,导数=0,但并不是极值点.事实上,这类点只是导数=0,函数仍然是单调的.
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