【直角三角形】
【证明】
∵AD是BC边的中线,
∴BD=CD=1/2BC,
∵AD=1/2BC,
∴BD=AD=CD,
∴∠1=∠B,∠2=∠C,
∴∠1+∠2=∠B+∠C,
即∠BAC=∠B+∠C,
∵2∠BAC=∠BAC+∠B+∠C=180°(三角形内角和180°),
∴∠BAC=90°,
∴△ABC是直角三角形。
扩展资料:
中线的性质
(1)任意三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六个部分。中线都把三角形分成面积相等的两个部分。除此之外,任何其他通过中点的直线都不把三角形分成面积相等的两个部分。
(2)在 ABC中,连接角A的中线记为 ,连接角B的中线记为 ,连接角C的中线记为 ,它们长度的公式为:
(3)三角形中中线的交点为重心,重心分中线为2:1(顶点到重心:重心到对边中点)。
(4)在一个直角三角形中,直角所对应的边上的中线为斜边的一半。
参考资料:百度百科-中线
直角三角形。
有一个角为直角的三角形称为直角三角形。在直角三角形中,直角相邻的两条边称为直角边。直角所对的边称为斜边。直角三角形直角所对的边也叫作“弦”。若两条直角边不一样长,短的那条边叫作“勾”,长的那条边叫作“股”。
它除了具有一般三角形的性质外,具有一些特殊的性质:
性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如图,∠BAC=90°,则AB²+AC²=BC²(勾股定理)
性质2:在直角三角形中,两个锐角互余。如图,若∠BAC=90°,则∠B+∠C=90°
性质3:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半(即直角三角形的外心位于斜边的中点,外接圆半径R=C/2)。该性质称为直角三角形斜边中线定理。
性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
性质5:如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:
射影定理图
(1)(AD)²=BD·DC。
(2)(AB)²=BD·BC。
(3)(AC)²=CD·BC。
性质6:在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
【直角三角形】
【如果三角形的一边中线等于该边长的一半,那么三角形为直角三角形。】
设在△ABC中,AD为BC边的中线,且AD=1/2BC,求证:△ABC为直角三角形。
【证法1】
∵AD是BC边的中线,
∴BD=CD=1/2BC,
∵AD=1/2BC,
∴BD=AD=CD,
∴∠1=∠B,∠2=∠C,
∴∠1+∠2=∠B+∠C,
即∠BAC=∠B+∠C,
∵2∠BAC=∠BAC+∠B+∠C=180°(三角形内角和180°),
∴∠BAC=90°,
∴△ABC是直角三角形。
【证法2】
取AC的中点E,连接DE。
∵AD是BC边的中线,
∴BD=CD=1/2BC,
∵AD=1/2BC,
∴AD=CD,
∵点E是AC的中点,
∴DE⊥AC(三线合一),
∴∠DEC=90°,
∵点D是BC的中点,点E是AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE//AB,
∴∠BAC=∠DEC=90°,
∴△ABC是直角三角形。
【证法3】
延长AD到E,是DE=AD,连接BE、CE。
∵AD是BC边的中线,
∴BD=CD,
又∵AD=DE,
∴四边形ABEC是平行四边形(对角线相等的四边形是平行四边形),
∵AD=1/2BC,AD=DE=1/2AE,
∴BC=AE,
∴四边形ABEC是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形),
∴∠BAC=90°(矩形的内角均为直角),
∴△ABC是直角三角形。
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