高数无穷级数求和的疑问【高分】

Question

Σ(n from 0 to ∞)[x^(2n)] / [(2n)!]
这道题目，答案是这样子的：
令和函数为S(x)，
则S(x)=1+x^2/2!+x^4/4!+...+x^(2n)/(2n)!+...
那么，第一项的”1“是在x≠0的情况下算出来的，因为0的0次幂没有意义。
但是，答案却提供了S(0)=1，定义域不是x≠0么，怎么现在又能用了？
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Answer 1

当n=0时，默认取的是级数中的常数项，这算是个不成文的规定吧。

幂级数的定义域中是包含x=0的。
其实幂级数是：
1+x^2/2!+x^4/4!+...+x^(2n)/(2n)!+...
这个定义域中当然是有x=0的。
我们把它写成Σ(n from 0 to ∞)[x^(2n)] / [(2n)!]是一种简单写，但是如果为了0这一个点，把它写成分段的，也不值得，所以默认了，x=0时，其实就是等于这个常数。

Answer 2

你说得有道理，只能说极限 S(0) = 1.
可以补充定义S在x=0处的值，使之连续。