基本初等函数e^x展开成x的幂级数：e^x=1+x+x²/2!+x³/3!+.+x^n/n!+......
函数f(x)=xe^x=x(1+x+x²/2!+x³/3!+......+x^n/n!+......)=x+x²+x³/2!+.+x^(n+1)/n!+......
常用泰勒公式把函数f(x)展开成幂级数的形式，通常会说在x=x0处展开，这首先要满足函数在领域(x0，δ）有定义，有直到n阶的导数f(x0)，这样就可以在x=x0处用Taylor公式展开了。
当然如果在x=0处满足上面的条件，那么可以在x=0处展开，这就是所谓的马克劳林公式，是泰勒公式的特殊情况。常用的初等函数幂级数表就是在x=0处展开的。
扩展资料：
将函数展开成幂级数的意义：
工程中数值计算，很多系统方程、参数方程是不可能有解析解的，因此只能通过求解某个数值解，这个数值解在误差范围内要尽可能精确。
这个数值解一般也是不可能直接解出来一个精确的了，只能说尽可能逼近原数值，对于幂级数，原则上来说可以通过控制求解的项数来控制计算的精度，这个是相对而言比较确定的。
对于误差的评估一般可以通过余项来估计，例如泰勒公式的各种余项，很多时候就是为了评估逼近的误差怎样，当然还有其他的方法。