求曲面z=xy/a被柱面x^2+y^2=a^2所割下部分的面积A,要解题步骤！

Question

如题所述

Answer 1

求曲面z=xy/a被柱面x²+y²=a²所割下部分的面积A。
解：∂z/∂x=y/a；∂z/∂y=x/a，积分域Dxy：圆心在原点，半径r=a的园。
A=[Dxy]∫∫√[1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²]dxdx=[Dxy]∫∫√[1+(x²+y²)/a²]dxdy=[Dxy](1/a)∫∫√(a²+x²+y²)dxdy
为便于计算，换成极坐标：x=ρcosθ，y=ρsinθ；0≦θ≦2π；0≦ρ≦a；于是得：
A=[Dρθ](1/a)∫∫[√(a²+ρ²)]ρdρdθ=(1/a)∫[0，2π]dθ∫[0，a]√(a²+ρ²)]ρdρ
=(2π/a)(1/2)∫[0，a]√(a²+ρ²)]d(a²+ρ²)=(π/a)[(2/3)(a²+ρ²)^(3/2)]︱[0，a]
=(2π/3a)[(2a²)^(3/2)-(a²)^(3/2)=(2π/3a)[2(√2)-1]a³=[2(2√2-1)/3]πa².

Answer 2

？追问

...???