设积分域为 x ∈(-∞,+∞)
令：F = (-∞,+∞)∫e^(-x²)dx
同样 F= (-∞,+∞)∫e^(-y²)dy
由于x,y是互不相关的的积分变量,因此：
F² = (-∞,+∞)∫e^(-x²)dx * (-∞,+∞)∫e^(-y²)dy
= [D]∫∫e^(-x²)*dx * e^(-y²)*dy
= [D]∫∫e^[-(x²+y²)]*dx *dy
式中积分域D = {(x,y)|x ∈(-∞,+∞),y∈(-∞,+∞)}
对x,y进行极坐标变换,则:
x²+y² = ρ²；dxdy = ρ*dρ*dθ
F² = [D]∫∫e^[-(x²+y²)]*dx *dy
= [0,+∞)[0,2π]∫∫e^(-ρ²) ρ*dρ*dθ
= [0,2π]∫dθ *(0,+∞)∫e^(-ρ²) ρ*dρ
= 2π* 1/2*[0,+∞)*∫e^(-ρ²) *dρ²
= π
因此 F = (-∞,+∞)∫e^(-x²)dx = √π
扩展资料：
分部积分法
不定积分
设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdu [1]
两边积分，得分部积分公式
∫udv=uv-∫vdu。
称公式⑴为分部积分公式．如果积分∫vdu易于求出，则左端积分式随之得到．
分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v
一般来说，u,v 选取的原则是：
1、积分容易者选为v。
2、求导简单者选为u。
例子：∫Inx dx中应设U=Inx,V=x
分部积分法的实质是：将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。
有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和．可见问题转化为计算真分式的积分．
可以证明，任何真分式总能分解为部分分式之和。