证明两个奇函数或两个偶函数相乘=偶函数

Question

1.证明两个奇函数或两个偶函数相乘=偶函数
2.如果f（x）×g（x）=偶函数，那么f（x）与g（x）同为偶函数或奇函数的说法是否成立，为什么

Answer 1

1、设f(x)，g(x)均为奇函数，则f(-x)=-f(x)，g(-x)=-g(x)
f(-x)g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)g(x)
因此f(x)g(x)为偶函数。

设f(x)，g(x)均为偶函数，则f(-x)=f(x)，g(-x)=g(x)
f(-x)g(-x)=f(x)g(x)
因此f(x)g(x)为偶函数。

2、不正确。设f(x)=x+1，g(x)=x-1这两个函数都是非奇非偶，但相乘后
f(x)g(x)=x²-1是偶函数。

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因此f(x)g(x)为偶函数
为什么f(x)g(x)是偶函数呀

追答

设h(x)=f(x)g(x)
则h(-x)=f(-x)g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)g(x)=h(x)
因此h(x)是偶函数，也就是说f(x)g(x)是偶函数。

追问

为什么h（-x）=f（x）×g（x）呀

追答

设h(x)=f(x)g(x)，f(x)，g(x)均为奇函数，
则f(-x)=-f(x)，g(-x)=-g(x)
因此：h(-x)=f(-x)g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)g(x)=h(x)
因此h(x)是偶函数，也就是说f(x)g(x)是偶函数。

要看全部过程啊。

Answer 2

若f(x),g(x)是奇函数，即 f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x)
令h(x)=f(x)g(x),则
h(-x)=f(-x)g(-x) = -f(x) · (-g(x)) =f(x)g(x) = h(x)
所以 h(x) =f(x)g(x) 是偶函数
即两个奇函数相乘为偶函数

相似讨论，可以证明两个偶函数是积是偶函数

2. 令f(x)=x-1, g(x)= x+1,则 f(x)g(x)=(x-1)(x+1) = x²-1 为偶函数。
但f(x),g(x)都既不是奇函数，也不是偶函数
这说明，这个说法是不成立。

Answer 3

1. 证明：以两个奇函数f(x), g(x)为例。
设F(x)=f（x）×g（x）
则F(-x)=f(-x)×g(-x)
=[-f(x)]×[-g(x)]
=f(x)×g(x)
=F(x)
严格地说这个命题也不对，还得再限定定义域。
2. 不成立