利用曲线积分，求星形线x=acos³t，y=asin³t所围图形面积
利用曲线积分，求星形线x=acos³t，y=asin³t所围图形面积这题目用面积公式∫∫dxdy，和格林公式做，但是怎么推出A=1/2（∫xdy-ydx）的？
面积是(3πa^2)/8。
由对称性，S＝4∫(0→a)ydx
＝4∫(π/2→0) a(sint)^3 d[a(cost)^3]
＝12a^2∫(0→π/2) (sint)^4(cost)^2 dt
＝12a^2∫(0→π/2) [(sint)^4－(sint)^6] dt
＝12a^2[3/4*1/2*π/2－5/6*3/4*1/2*π/2]
＝(3πa^2)/8。
扩展资料：
在曲线积分中，被积的函数可以是标量函数或向量函数。积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和。带有权重是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点。
物理学中的许多简单的公式，在推广之后都是以曲线积分的形式出现。曲线积分在物理学中是很重要的工具，例如计算电场或重力场中的做功，或量子力学中计算粒子出现的概率。
参考资料来源：百度百科-曲线积分
利用曲线积分计算曲线所围成图形的面积 ：
星形线x=acos³t,y=asin³t,0≤t≤2:
[r(t)]^2=[x(t)]^2+[y(t)]^2=a^2(cost)^6+a^2(sint)^6
=a^2[(cost)^2+(sint)^2][(cost)^4+(sint)^4-(cost)^2(sint)^2]
=a^2[1-3(cost)^2(sint)^2]
所以面积
S=(1/2)∫[r(t)]^2dt
=(1/2)∫(0->2π) a^2[1-3(cost)^2(sint)^2]dt
=5πa^2/8
扩展资料：
用格林公式求星型线 x=acos³t,y=asin³t的面积.
S=(1/2)∮xdy-ydx=[0,2π](1/2)∫(3a²cos⁴tsin²t+3a²sin⁴tcos²t)dt
=[0,2π](3a²/2)∫(cos²tsin²t(cos²t+sin²t)dt=[0,2π](3a²/2)∫(cos²tsin²t)dt
=[0,2π](3a²/2)∫[(1/4)(1+cos2t)(1-cos2t)dt=[0,2π](3a²/2)∫[(1/4)(1-cos²2t)dt
=[0,2π](3a²/2)[(1/4)∫dt-(1/8)∫(1+cos4t)dt]
=[0,2π](3a²/2)[(1/8)∫dt-(1/32)∫cos4td(4t)]
=(3a²/2)[t/8-(1/32)sin4t][0,2π]=(3/8)πa²
参考资料来源：百度百科-曲线积分
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什么鬼
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