定积分的计算公式是什么？

Question

如题所述

Answer 1

定积分∫[0,3](x+2)dx/√(x+1)计算举例

 

本文主要内容：

通过凑分、分部积分、换元等定积分计算方法，介绍求解定积分∫[0,3](x+2)dx/√(x+1)的值主要步骤和方法。

 

直接积分法：

∫[0,3](x+2)dx/√(x+1)

=∫[0,3](x+2)d(x+1)/√(x+1),本步骤公式:d(x+1)=1dx.

=2∫[0,3](x+2)d(x+1)/2√(x+1),本步骤为凑分法.

=2∫[0,3](x+2)d√(x+1)

=2∫[0,3]xd√(x+1)+4∫[0,3]d√(x+1)，将积分部分分项得到.

=2x√(x+1)[0,3]-2∫[0,3]√(x+1)dx+4√(x+1)[0,3]

=2*6-2∫[0,3]√(x+1)d(x+1)+4(2-1).

=2*6-4/3√(x+1)^3[0,3]+4(2-1).

=20/3.

 

换元法：

设√(x+1)=t，则x=(t^2-1),则：

当x=0时，t=1；当x=3时，t=2，此时有：

∫[0,3](x+2)dx/√(x+1)

=∫[1,2][(t^2-1)+1]d[(t^2-1)]/t

=2∫[1,2][(t^2-1)+2]dt

=2∫[1,2](t^2+1)dt

=2(1/3t^3+t)[1,2]

=2[1/3(2^3-1^3)+1(2-1)]

=20/3.

定积分：

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点xi将区间[a,b]分为n ä¸ªå°åŒºé—´ï¼Œåœ¨æ¯ä¸ªå°åŒºé—´[xi-1,xi]上任取一点ri（i=1,2,3„,n） ï¼Œä½œå’Œå¼f(r1)+...+f(rn) ï¼Œå½“n趋于无穷大时，上述和式无限趋近于某个常数A，这个常数叫做y=f(x) åœ¨åŒºé—´ä¸Šçš„定积分.

 è¿™é‡Œï¼Œa ä¸Ž b叫做积分下限与积分上限，区间[a,b] å«åšç§¯åˆ†åŒºé—´ï¼Œå‡½æ•°f(x) å«åšè¢«ç§¯å‡½æ•°ï¼Œx å«åšç§¯åˆ†å˜é‡ï¼Œf(x)dx å«åšè¢«ç§¯å¼ã€‚

一般定理

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

∫(a,b)[f(x)±g(x)]dx=∫(a,b)f(x)±∫(a,b)g(x)dx

∫(a,b)kf(x)dx=k∫(a,b)f(x)dx。

Answer 2

定积分的计算公式：f= @(x，y)exp(sin(x))*ln(y)。定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。希望能帮助你还请及时采纳谢谢