求证n开n次方的极限为1

Question

如题所述

Answer 1

证明过程如下：

（1）设a=n^(1/n)。所以a=e^(lnn/n)。lim(n→∞)a=e^[lim(n→∞)lnn/n]。

（2）而lim(n→∞)lnn/n属“∞/∞“型，用洛必达法则，lim(n→∞)lnn/n=lim(n→∞)1/n=0。

（3）lim(n→∞)n^(1/n)=e^[lim(n→∞)lnn/n]=e^0=1。

洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。众所周知，两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。

因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。洛必达法则便是应用于这类极限计算的通用方法。

扩展资料：

在运用洛必达法则之前，首先要完成两项任务：一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。

如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则。

参考资料：百度百科-洛必达法则

Answer 2

证明：设a=n^(1/n)。∴a=e^(lnn/n)。
∴lim(n→∞)a=e^[lim(n→∞)lnn/n]。
而，lim(n→∞)lnn/n属“∞/∞“型，用洛必达法则，∴lim(n→∞)lnn/n=lim(n→∞)1/n=0。
∴lim(n→∞)n^(1/n)=e^[lim(n→∞)lnn/n]=e^0=1。
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Answer 3

Answer 4

Answer 5

n^(1/n)=exp(lnn/n)
运用洛必达法则得
lim n^(1/n)=limexp(lnn/n)=exp(llimnn/n)=exp(lim1/n)=exp(0)=1本回答被网友采纳