如图，⊙O的半径为2，弧AB等于120°，E是劣弧AB的中点．（1）如图①，试说明：点O、E关于AB对称（即AB垂

Question

如图，⊙O的半径为2，弧AB等于120°，E是劣弧AB的中点．（1）如图①，试说明：点O、E关于AB对称（即AB垂直平分OE．）；（2）把劣弧AB沿直线AB折叠（如图②）⊙O的动弦CD始终与折叠后的弧AB相切，求CD的长度的变化范围．

Answer 1

（1）证明：连接OA，OB，AE，BE，OE，且AB与OE交于点C． ∵E是劣弧AB的中点，∴OE⊥AB，且AC=BC（垂径定理）， ∠AOE=∠BOE= 1 2 ∠AOB． ∵ AB =120°，∴∠AOB=120，∠AOE=∠BOE=60°． ∵AO=OE，∴△AOE是等边三角形． ∴OC=EC（等腰三角形“三线合一”） ∴AB垂直平分OE． 因此，点O，E关于AB对称． （2）当弦CD过圆心O时最长，即是直径，CD=4； 当弦CD过A或B与折叠后的弧相切时最短．这时CD与AE垂直（假设C与点A重合）． 连接DE，则DE过圆心O（直角所对的弦是直径）， ∵∠AED=60度（在证对称时已证）， AE=AO=2，ED=4，所以，AD= 16-4 =2 3 ． CD的长度变化范围是： 2 3 ≤CD≤4 ．