初三数学题，与圆有关

Question

如图，AB是⊙O的直径，且AB=4，点P是OA中点，过点P作PC⊥AB，交⊙O于点C、D，连接AC,BC,CO,AD,DO，延长DO交BC于点E，过点D的切线DF与CA的延长线交于点F
1.求证：四边形ACOD是菱形
2.求BC的长
3.求四边形CEDF的面积

Answer 1

1、∵PC⊥AB，即OA是半径且OA⊥CD

∴垂径定理：CP=DP

∵点P是OA中点，即AP=OP=1/2OA=1/4AB=1

CP=DP，OA⊥CD

∴四边形ACOD是菱形(对角线相互垂直平分的四边形是菱形）

2、∵AB是直径，那么∠ACB=∠BPC=90°

∠ABC=∠CBP

∴△ABC∽△CBP

∴BC/AB=PB/BC

即BC平方=AB×BP=4×3=12  (OP=1，OB=2，那么BP=3)

BC=2√3

3、∵四边形ACOD是菱形

∴AC∥OD，即CF∥ED

AD=AC，那么连接BD，弧AC=弧AD，得∠ABC=∠ABD=∠OCB

∠ADO=∠ACO

∵DF是圆切线，那么∠ADF=∠ABD=∠ABC=∠OCB

∴∠FDO=∠ADF+∠ADO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°

∵CF∥ED，∠FCE=∠ACB=∠FDO=∠FDE=90°

即∠FCE=∠FDE=90°

∴四边形CEDF是矩形

那么∠CEO=90°，即OE⊥BC

OC=OB

∴CE=1/2BC=√3

勾股定理：OE=1

∴DE=OD+OE=2+1=3

∴S四边形CEDF=CE×DE=√3×3=3√3