如何证明三维柯西不等式？

Question

如题所述

Answer 1

三维形式的柯西不等式：(a^2+b^2+c^2)(d^2+e^2+f^2)>=(ad+be+cf)^2
证明：
左边=(ad)^2+(be)^2+(cf)^2+[(ae)^2+(bd)^2]+[(af)^2+(cd)^2]+[(bf)^2+(ce)^2]
右边=(ad)^2+(be)^2+(cf)^2+2(ad)*(be)+2(ad)*(cf)+2(be)*(cf)
根据均值不等式，有：
(ae)^2+(bd)^2>=2(ad)*(be)
(af)^2+(cd)^2>=2(ad)*(cf)
(bf)^2+(ce)^2>=2(be)*(cf)
所以左边>=右边，当且仅当ae=bd，af=cd，bf=ce时，等式成立
证毕