求此定积分题的解法

Question

题目如下，∫（上限是1，下限是-1）2+sinx／1+x^2 dx，望高手帮解下，请详细点，谢了

Answer 1

[-1..1]∫(2+sinx)dx/(1+x²)
=[-1..1]∫2dx/(1+x²)+[-1..1]∫sinxdx/(1+x²)
=2arctanx|[-1..1]+0 奇函数 sinx/(1+x²) 在对称区间的定积分等于零
=2[π/4-(-π/4)]
=π

Answer 2

sinx/(1+x^2)是奇函数，在对称区间上的积分值是0，因此
原积分值=2arctanx|上限1下限--1=2（pi/4+pi/4)=pi。

Answer 3

(2+sinx) * 1/(1+x^2)=2/(1+x^2)+sinx /(1+x^2)

∫(2+sinx) * 1/(1+x^2)dx=∫[2/(1+x^2)+sinx /(1+x^2)]dx=∫m(x)dx+∫n(x)dx

令m(x)=2/(1+x^2) 偶函数，对称区间积分是单区间的两倍 原函数M（x)=2arctanx

n(x）=sinx /(1+x^2) 奇函数，对称区间为0

∫(2+sinx) * 1/(1+x^2)dx=∫[2/(1+x^2)+sinx /(1+x^2)]dx=∫m(x)dx+∫n(x)dx =∫m(x)dx=2arctanx =4【M(1)-M(0)]=4[π/4-0]=π