分享解法如下。(1) 令t=tanx。原式=∫(0,∞)dt/[1+t^(2/3)]³。
(2)转换成贝塔函数【B(a,b)】、并且利用贝塔函数与伽玛函数【Γ(α)】的关系求解。令s=[t^(2/3)]/[1+t^(2/3)]。∴原式=(3/2)∫(0,1)[s^(1/2)](1-s)^(1/2)ds=(3/2)B(3/2,3/2)。
而，B(3/2,3/2)=[Γ(3/2)*Γ(3/2)]/Γ(3/2+3/2)=[(1/2)Γ1/2)]²/(2!)=π/8。
∴原式=(3/2)π/8=3π/16=0.5890486……。
(2)转换成贝塔函数【B(a,b)】、并且利用贝塔函数与伽玛函数【Γ(α)】的关系求解。令s=[t^(2/3)]/[1+t^(2/3)]。∴原式=(3/2)∫(0,1)[s^(1/2)](1-s)^(1/2)ds=(3/2)B(3/2,3/2)。
而，B(3/2,3/2)=[Γ(3/2)*Γ(3/2)]/Γ(3/2+3/2)=[(1/2)Γ1/2)]²/(2!)=π/8。
∴原式=(3/2)π/8=3π/16=0.5890486……。
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