分段函数f(x) 的极限问题

Question

ln(1+ax^3)/(x-arcsinx) ,x<0
f(x) = 6 ,x=0
(e^(ax)+x^2-ax-1)/x*sin(x/4) ,x>0
问a为何值时，f(x)在x=0 处连续。

Answer 1

a=-1;

f(x)要在x=0处连续 只需有：[x->0]limf(x)=f(0)即可。
对于本题，f(x)在0点连续那么就可得出：
[x->0+]lim(e^(ax)+x^2-ax-1)/x*sin(x/4)=6;
[x->0-]lim ln(1+ax^3)/(x-arcsinx)=6;

对于第一个等式，sin(x/4)可用x/4等价无穷小代换，分母x*sin(x/4)即可代换为 x^2/4 再看分子，e^(ax)泰勒展开得：e^(ax)=1+ax+(a^2/2)x^2+o(x^2)
那么分子即为：x^2+(a^2/2)x^2+o(x^2)。
分子分母同时除去x^2即可得[x->0+]lim(e^(ax)+x^2-ax-1)/x*sin(x/4）=2a^2+4
2a^2+4=6即可解得a=1或a=-1.

再看第二个等式，ln(1+ax^3)可代换为ax^3，
那么lim ln(1+ax^3)/(x-arcsinx)=lim ax^3/(x-arcsinx),再用落必达法则求极限：lim ax^3/(x-arcsinx)=lim3ax^2/[1- 1/sqrt(1-x^2)].整理过后得:
lim [3ax^2 ×sqrt(1-x^2)]/[sqrt(1-x^2) -1].
分子分母同时乘[sqrt(1-x^2) +1]后再同时除去 x^2 即可得：
lim ln(1+ax^3)/(x-arcsinx)=-6a=6,即可得出a=-1。这样一来第一个等式解得的a=1就没用了。也就是说其实可以只做第二个等式就行了。。。