求解 1/(e^x-1)=1/x-1/2+(1/12)x+o(x) x趋近于0

Question

o(x)的o为小o符号
要详细步骤

Answer 1

e^x=1+x+x^2/2+x^3/6+o(x^3), 1/(e^x-1)=1/x(1/(1+x/2+x^2/6+o(x^3)), 对1/(1+x/2+x^2/6+o(x^3))应用泰勒公式展开到二阶即可

Answer 2

x趋于0
lim[1/(e^x-1)-1/x+1/2-(1/12)x]/x
=lim[12x+(6x-12-x^2)(e^x-1)]/12x^2(e^x-1)
=lim[12+(6-2x)(e^x-1)+(6x-12-x^2)e^x]/[24x^2(e^x-1)+12x^2e^x]
=lim[-2(e^x-1)+(6-2x)e^x+(6x-12-x^2)e^x]/[48x(e^x-1)+24x^2e^x+24xe^x+12x^2e^x]
=lim[

下班。明天来追问

我明天之前必须要答案啊。。。。我也算到这个步骤了。。。就等后面的~~~帮帮我算完吧 我给你再加10分

追答

换个角度：
lim [1/(e^x-1)-1/x+1/2]/x
=lim[2x+(x-2)(e^x-1)]/2x^2(e^x-1)
=lim[2+(e^x-1)+(x-2)e^x]/[4x(e^x-1)+2x^2e^x]
=lim[xe^x]/[4(e^x-1)+8xe^x+2x^2e^x]
=lim[xe^x+e^x]/[12e^x+8xe^x+4xe^x+2x^2e^x]
=1/12
所以：[1/(e^x-1)-1/x+1/2]/x=1/12+a (a是x趋于0时的无穷小）
1/(e^x-1)-1/x+1/2=(1/12)x+ax
1/(e^x-1)=1/x-1/2+(1/12)x+o(x)