高数问题

Question

求经过点A(1,2,3)和B(-1，-2，-3)且与平面XOY垂直的平面方程

Answer 1

与平面XOY垂直的平面的法向量是(0,0,1)
现在只需一个点就可以确定这个平面，但是要同时满足经过点A(1,2,3)和B(-1，-2，-3)，这样平面却是不存在的。
还有，这是解析几何问题，不是高数的内容。

不好意思犯迷糊了
先求直线方程AB
向量AB=(-1，-2，-3)-(1,2,3)=-2(1,2,3)

lAB: (x-1)/1+(y-2)/2=(z-3)/3
2x-y=0
3x-z=0
过这条直线的平面簇为
(2x-y)+k(3x-z)=0
(2+3k)x-y-kz=0
法向量为(2+3k,-1,-k)
他与平面XOY垂直,所以 (2+3k,-1,-k)*(0,0,1)=-k=0
所以过点A(1,2,3)和B(-1，-2，-3)且与平面XOY垂直的平面方程为2x-y=0

Answer 2

思路一：用两点求出直线方程，然后求出过此直线的平面簇方程，然后利用两平面垂直的条件进行求解；
思路二：用两条相交直线确定平面。
向量AB=（-2,-4,-6），xoy法向量n=（0,0,1）
两向量的叉积就可以求出待求平面的法向量m=k（2，-1,0），k任取不为0的数值即可
最后用点向式求出平面方程即可。答案应该是y=2x

如果你观察仔细，其实这道题不用像上面那样按部就班来求解。
很明显垂直于xoy的平面我们只需要通过它和xoy的交线就可以确定了。
又因为AB在平面上，所以我们只需要求出AB在xoy上的投影就可以了。
而AB两点关于原点对称，所以我们直接求A或者B的投影就可以了，而很容易知道A的投影点A'=（1,2）
而且换个思维就知道待求平面其实可以看做是柱面方程，只需要平行于z轴的直线沿着AB的投影移动就可以确定待求平面，而根据柱面方程的性质，很容易就知道待求平面的方程就是y=2x本回答被网友采纳

Answer 3

过A作XOY的垂线，交XOY于C，则CA=(0,0,3),
BA=(2,4,6),
所求平面过BA、CA;

则平面的法线为：BA×CA=(-12,6,0)
则所求平面为：-12x+6y=0,即2x=y