积分问题，如图所示。这个积分为什么是收敛的?趋近1的时候不是无穷吗?

Question

如题所述

Answer 1

1、p>1时，∫1/x^p dx= 1/(1-p) *1/x^(p-1)
在p大于1时，
x趋于无穷大，则1/x^(p-1)趋于0，显然收敛
而p=1时，∫1/xdx=lnx，
x趋于无穷大则发散
p<1时，1/x^(p-1)趋于无穷大，那么积分是发散的

2、∫1/x (lnx)^p dx
=∫ 1/(lnx)^p d(lnx)
这时实际上就等价于第1个结论，
lna >0即a >1

3、显然若 λ小于等于0，
那么x^k *e^(-λx)趋于无穷大，一定是发散的

λ大于0时，
泰勒展开e^x=1+x+x^2/2+...+x^n/n!+...
即x^k *e^(-λx)=x^k / [1+λx +(λx)^2/2... +(λx)^n /n!] <1
所以是收敛的

4、∫1/(x-a)^p dx
=1/(1-p) *(x-a)^(1-p)
若p小于1，那么代入x的上下限b和a，显然收敛
若p=1，积分得到ln|x-a|，x=a时发散
而若p大于1，即1-p小于等于0
那么代入下限x=a时，x-a趋于0，(x-a)^(1-p)发散

Answer 2

如图。

追问

你好，麻烦你再帮我看一下为什么这个是发散的?

追答

积分=0，收敛

追问

但是书上说是发散的

追答

我再看看

确定原题积分限就是-1到1？不是0到1？

追问

你看对不

原题就是-1到1

这是另外一道类似的题目

追答

对的

刚翻了下课本，反常积分定义中只能存在1个瑕点，所以这种有2个瑕点的积分要分段来算，只有每一段都收敛，整个积分才收敛，所以按照这个定义，确实是发散的

追问

好的 非常感谢你

追答

谢谢，我也有所受教！

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Answer 3

子夜吴歌·春歌(李白)