第1个回答 2013-09-21
英文名称：Viete theorem 韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。 这里主要讲一下一元二次方程两根之间的关系。 一元二次方程ax＾2+bx+c=中,两根X1,X2有如下关系:x1+x2=-b/a; X1*X2=c/a. 韦达定理(Vieta's Theorem）的内容 一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中 设两个根为X1和X2 则X1+X2= -b/a X1*×2=c/a 用韦达定理判断方程的根 若b²-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根 若b²-4ac=0 则方程有两个相等的实数根 若b²-4ac≥0则方程有实数根 若b²-4ac<0 则方程没有实数解 韦达定理的推广 韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0 它的根记作X1,X2…,Xn 我们有 ∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n) ∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n) … ∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n) 其中∑是求和，∏是求积。 如果一元二次方程 在复数集中的根是，那么 由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程 在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积： 其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。 法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。 韦达定理在方程论中有着广泛的应用。 (x1-x2)的绝对值为(根号下b^2-4ac)/（a的绝对值） 韦达定理推广的证明 设x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解。 则有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0 所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i （在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理） 通过系数对比可得： A（n-1）=-An(∑xi) A（n-2）=An(∑xixj) … A0=[(-1)^n]*An*∏Xi 所以：∑Xi=[(-1)^1]*A(n-1)/A(n) ∑XiXj=[(-1)^2]*A(n-2)/A(n) … ∏Xi=[(-1)^n]*A(0)/A(n) 其中∑是求和，∏是求积。