求尺规画正五边形的原理

Question

①以O为圆心,定长R为半径画圆,并作互相垂直的直径MN和AP。
　　②平分半径ON,得OK=KN。
　　③以点K为圆心,KA为半径画弧与OM交于点H， AH即为正五边形的边长。
　　④以AH为弦长,在圆周上截得A,B,C,D,E各点,顺次连接这些点即得正五边形。求其画法原理和证明..

Answer 1

设圆的半径为1，则其内接正五边形的边长为
(√(10-2√5))/2 （2R*sin36度）

那么，由该做法：（设R=1）
OM=1，所以OK=1/2
又OA=1
所以AK=√(OA^2+OK^2)=(√5)/2
KH=AK=(√5)/2
所以OH=KH-OK=(√5-1)/2
所以AH=√(OH^2+OA^2)=(√(10-2√5))/2即为该圆内接正五边形边长

其实几何的尺规作图问题都可这样算出来，也就是说作图的充分必要条件为：这个作图问题中必须求出的未知量能够由若干已知量经过有限次的有理运算及开方运算而算出。（已被证明，摘自《数学手册》）

Answer 2

作法：①以O为圆心,定长R为半径画圆,并作互相垂直的直径MN和AP。
　　②平分半径ON,得OK=KN。
　　③以点K为圆心,KA为半径画弧与OM交于点H， AH即为正五边形的边长。

　　④以AH为弦长,在圆周上截得A,B,C,D,E各点,顺次连接这些点即得正五边形。
证明：设圆的半径为1，则其内接正五边形的边长为(√(10-2√5))/2 （2R*sin36度）
OM=1，所以 OK=1/2 又OA=1 所以AK=√(OA^2+OK^2)=(√5)/2KH=AK=(√5)/2所以OH=KH-OK=(√5-1)/2所以AH=√(OH^2+OA^2)=(√(10-2√5))/2 内接正五边形边长

Answer 3

其实还有方法的，做黄金三角形