尺规作正五边形的作图原理

Question

如题所述

Answer 1

尺规作正五边形的作图原理如下：

正五边形作图原理,也叫做“正五边形布线法”,是在机械设计中常用的一种作图原理,它的主要原理是利用直尺和角尺分别在水平和垂直方向上反复作画,最终得到一个正五边形的外形图。

约前300年欧几里得（古希腊数学家几何之父）在他的《几何原本》中描述了一个用直尺和圆规做出正五边形的过程，这是数学史上第一个有关正五边形的记载，但是不是所有正多边形都可以用直尺和圆规作出来呢？

答案是否定的，这个证明关系到更为复杂的数学知识，本篇我们就来证明正五边形为什么可以用直尺和圆规作出来。证明正五边形的过程其实就是推导cos(2π/5)的精确表达式的过程。

约前300年，欧几里德在他的《几何原本》中描述了一个用直尺和圆规做出正五边形的过程。画一条水平线，通过此线上的任意点做一个圆。

将圆规的一腿放在圆与直线的其一交点上，通过上述圆的圆心画半圆，并与之交两点。连接这两点做垂直线，与先前的水平线相交与(a)点。

张开圆规，以水平线与第一个圆的两个交点为圆心以相同半径在水平线上下第一个圆外分别做两个交点，这样可以得到一条通过第一个圆圆心的正交线，与第一个圆相交的位于水平线上方的点称之为(b).这是正五边形的第一个角。

将圆规的一脚放在(a)点上，(a)(b)间距为半径做另一个圆，交水平线于点©。将圆规的一脚放在(b)点上，(b)©间距为半径做圆，交第一个圆于两点，这是正五边形的第二、三两点。

将圆规的一脚分别放在二、三两点上，同样是(b)©间距为半径交第一个圆于另外两点，这两点就是正五边形的最后两点。连接相邻两点就构成了正五边形。

如果不是连接相邻两点（即对角线连接），就会得到一个五角星，在它的中间构成一个小的正五边形。或者延长每一边，得到一个大正五边形。